충격파의 수학적 특이성 규명

[산업일보]
국내 연구진이 유체역학 분야 미해결 문제인 초음속 충격파에서 수학적으로 정의할 수 없는 특이성이 나타나는 이유를 알아냈다.

음속보다 빠르게 이동하는 항공우주비행체 및 우주운석 등의 물체 주위, 태양풍, 은하 성간 가스, 핵폭발 등의 광범위한 자연현상에서 급격한 가스 압축이 이뤄지는 충격파가 나타난다. 그동안의 수많은 이론적․실험적 연구를 통해 충격파의 물리적 특성에 관한 대략적 이해가 이뤄졌으나, 이론적 접근을 어렵게 하는 높은 비평형성으로 인해 그 생성원리에 대한 정확한 설명은 이뤄지지 못해 왔다. 예를 들어 고전역학의 수학적 기반을 제공했다고 평가되는 Caltech의 고 C. Truesdell, Maryland 대학의 C. D. Levermore의 연구도 충격파의 특이성 문제를 해결하지 못했다.

특히 1867년 J. C. Maxwell에 의해 제안된 Maxwell 기체입자 모델에 기초한 그 동안의 연구들은 모두 높은 Mach 수 충격파 문제에서 수학적 특이성을 보여줘 반세기 이상 비평형 유체역학 분야의 대표적 미스터리로 남아왔다.

흥미롭게도 유사한 미스터리가 인접분야인 복잡유체(Complex Fluids: 폴리머, 토마토 케찹 등)의 소위 고 Weissenberg 수 특이성 문제(High Weissenberg Singularity Problem) 형태로 유변학(Rheology)의 대표적 미해결 난제로 남아 왔다. 충격파의 경우 압축(Compression) 유동에서 특이성이 생기는 것과 정반대로 복잡유체에서는 신장(Extension) 유동에서 특이성이 존재하는 것으로 알려져 왔으나, 그 정확한 이유와 전혀 별개의 학문분야로 보이는 두 문제 사이의 연관성은 지금까지 전혀 인식하지 못해왔다.

연구진은 기체입자의 이동(Kinematics)과 충돌(Dissipation) 항들에 대한 일관되지 못한 처리가 충격파 특이성의 궁극적 원인임을 규명했다. 동시에 그 수학적 편이성으로 인해 수많은 연구자들이 애용해 왔던 1867년 제안된 J. C. Maxwell 기체입자 단순모델이 오히려 특이성 원인을 발견하는데 주된 걸림돌이었음을 밝혀냈다.

특이성 원인규명 후 Navier-Stokes 방정식으로 알려진 유체역학의 기본 방정식을 유도한 Navier(1822), Fourier(1822), Stokes(1845) 선형이론을 높은 비평형 (희박 및 마이크로) 문제로 성공적으로 확장한 대수형태의 고차 구성관계식을 최초로 유도했다. 특히 이 과정 중 볼츠만(Boltzmann) 운동방정식에서 거시적 축소 방정식을 유도할 때 지금까지 거의 모든 연구자들이 잊고 있었던 (비평형) 엔트로피에 관한 열역학 2법칙을 엄밀히 적용해 수학적으로 잘 정의된 고차 구성방정식을 유도할 수 있었다.

마지막으로 새로 유도된 구성관계식을 바탕으로 복잡 삼차원 공학적 설계에 적용할 수 있는 최신 수치기법인 불연속 캘러킨(Galerkin) 기반의 효율적 전산해석 코드를 개발했고, 각종 벤치마크 해석과 실험결과와의 비교를 통해 신규 구성관계식의 타당성을 검증했다.

이 연구를 통해 획득된 충격파 특이성 원인규명 및 해결방법은 복잡유체의 고 Weissenberg 수 특이성 해결뿐만 아니라 (서브) 마이크로 단위의 반도체 장치의 전자수송 특이성 문제해결에도 곧바로 적용할 수 있다.

특히 특이성 문제는 1023 단위의 입자계를 측정 가능한 물리량으로 축소할 필요가 있는 모든 기체, 복잡유체, 전자 등의 복잡계 시스템에 거의 동일하게 일어난다. 따라서 그 원인규명 및 해결방안을 제시한 본 연구는 이러한 복잡계 시스템 이해에 곧바로 응용될 수 있어 파급효과가 크다.

또 고차 구성관계식에 기초한 실용 다차원 전산해석코드는 100km 등의 고고도에서 비행하는 항공우주 비행체, 마이크론 단위의 미소기계장치, 진공장치 등의 공학적 설계에 가까운 시기에 사용될 수 있을 것으로 예측된다.